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(2013•牡丹江一模)下列命题中,正确的是
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)

(1)平面向量
a
b
的夹角为60°,
a
=(2,0)
|
b
|=1
,则|
a
+
b
|
=
7

(2)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosC,bcosB,ccosA成等差数列则B=
π
3

(3)O是△ABC所在平面上一定点,动点P满足:
OP
=
OA
+λ(
AB
sinC
+
AC
sinB
)
,λ∈(0,+∞),则直线AP一定通过△ABC的内心
(4)设函数f(x)=
x-[x],x≥0
f(x+1),x<0
其中[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.3]=-2,[1.3]=1,则函数y=f(x)-
1
4
x-
1
4
不同零点的个数2个.
分析:根据平方法,求出|
a
+
b
|
,可判断(1),利用正弦定理的边角互化,结合和差角公式及特殊角的三角函数值,可判断(2),根据向量加法的几何意义,可判断出P点在角A的平分线上,进而判断出(3),根据函数零点的定义判断出函数零点的个数,可判断(4).
解答:解:∵
a
=(2,0)
|
b
|=1
a
b
的夹角为60°,
|
a
+
b
|
2=4+1+2=7,故|
a
+
b
|
=
7
,即(1)正确;
acosC,bcosB,ccosA成等差数列,则2bcosB=acosC+ccosA,
2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosB=sin(A+C)=sinB
即2cosB=1,即cosB=
1
2
,故B=
π
3
,即(2)正确;
O是△ABC所在平面上一定点,动点P满足:
OP
=
OA
+λ(
AB
sinC
+
AC
sinB
)
,λ∈(0,+∞),则P在角A的平分线上,故直线AP一定通过△ABC的内心,即(3)正确;
设函数f(x)=
x-[x],x≥0
f(x+1),x<0
,则函数y=f(x)-
1
4
x-
1
4
不同零点的个数3个,故(4)错误
故正确的命题有:(1)(2)(3)
故答案为:(1)(2)(3)
点评:本题以命题的真假判断为载体,考查了向量的模,正弦定理,平面向量的加法的几何意义,函数的零点等知识点,综合性强,难度中档.
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.
z
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1+1nx
x

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1
3
)(a>0)
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k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围;
(3)求证:[(n+1)!]2>(n+1)en-2+
2
n+1
,这里n∈N*,(n+1)!=1×2×3×…×(n+1),e为自然对数的底数.

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