Question

【题目】已知点A（0，﹣2），椭圆E： 的离心率为 ，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的动直线与椭圆E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设F（c，0）， ，解得 ，又 ，∴a=2，b=1，

∴椭圆E： ；

（2）解：当l⊥x轴时，不合题意；

当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．

由△=16（4k2﹣3）＞0，得 ，即 或k ．

，

从而

= ，

又点O到直线PQ的距离 ，

∴△OPQ的面积 ，

设 ，则t＞0，

∴ ，当且仅当t=2，

即 时，等号成立，且△＞0．

此时 ．

【解析】（1）设出F，由直线AF的斜率为 求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当l⊥x轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx﹣2，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得k的范围，再由弦长公式求得|PQ|，由点到直线的距离公式求得O到l的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求．