Question

7．已知一次函数y=f（x）满足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+1在（0，2）上具有单调性，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）本题可以直接设一次函数的解析式，然后通过代入法，利用系数对应相等，建立方程组求解；
（2）结合二次函数的图象和性质，构造不等式，解得实数λ的取值范围．

解答 解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），则f（x+1）=k（x+1）+b=kx+k+b=x+3a，
故k=1，b=3a-1，
又∵f（a）=3，即a+3a-1=3，
解得：a=1，b=2，
∴f（x）=x+2；
（2）∵g（x）=x•（x+2）+λ（x+2）+1=x²+（λ+2）x+2λ+1的图象是开口朝上，且以直线x=$-\frac{λ+2}{2}$为对称轴的抛物线，
若g（x）在（0，2）上具有单调性，
则$-\frac{λ+2}{2}$≤0，或$-\frac{λ+2}{2}$≥2，
解得：λ≤-6，或λ≥-2．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，等于系数法求函数的解析式，难度中档．