Question

如图，椭圆C₀：＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆C₁：x²＋y²＝，b<t₁<a.点A₁、A₂分别为C₀的左、右顶点，C₁与C₀相交于A、B、C、D四点．

(1)求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
(2)设动圆C₂：x²＋y²＝与C₀相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b<t₂<a，t₁≠t₂.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．

Answer 1

（1）＝1(x<－a，y<0)．（2）见解析

(1)解：设A(x₁，y₁)，B(x₁，－y₁)，又知A₁(－a，0)，A₂(a，0)，
则直线A₁A的方程为y＝(x＋a)，①直线A₂B的方程为y＝(x－a)．②
由①②得y²＝(x²－a²)．③由点A(x₁，y₁)在椭圆C₀上，故＝1.
从而＝b²，代入③得＝1(x<－a，y<0)．
(2)证明：设A′(x₂，y₂)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x₁||y₁|＝4|x₂||y₂|，故.因为点A，A′均在椭圆上，所以b²＝b².由t₁≠t₂，知x₁≠x₂，所以＝a²，从而＝b²，因此＝a²＋b²为定值