Question

已知函数f（x）=3x²-6x-5．
（1）求不等式f（x）＞4的解集；
（2）设g（x）=f（x）-2x²+mx，其中m∈R，求g（x）在区间[l，3]上的最小值；
（3）若对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知中函数解析式，化简不等式 f（x）＞4，进而根据二次不等式的解法，可得不等式 f（x）＞4的解集；
（2）根据已知求出函数g（x）=f（x）-2x²+mx的解析式，根据二次函数的图象及性质，可得函数在区间[1，3]上的最小值；
（3）根据已知中函数解析式，化简不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a+b，根据二次函数的图象及性质，可得函数在区间[1，3]上恒成立，即函数在区间两端点的函数值均为负，构造不等式组，可得实数b的取值范围；
解答：解：（1）不等式 f（x）＞4
即3x²-6x-9＞0
解得x＞3，或x＜-1
∴不等式 f（x）＞4的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞）
（2）g（x）=f（x）-2x²+mx=x²+（m-6）x-5
其图象是开口朝上，且以x=为对称轴的抛物线
当＞3，即m＜0时，g（x）的最小值为g（3）=3m-14
当1≤≤3，即0≤m≤4时，g（x）的最小值为g（）=
当＜1，即m＞4时，g（x）的最小值为g（1）=m-10
（3）若不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a+b在x∈[1，3]上恒成立，
即不等式2x²+2ax-5-a-b＜0在x∈[1，3]上恒成立，
令h（x）=2x²+2ax-5-a-b
∵a∈[1，2]，故h（x）图象的对称轴x=-∈[-1，-]
∴当x=3时，函数h（x）取最大值5a-b+13
故只须a∈[1，2]时，5a-b+13≤0恒成立即可；
即当a∈[1，2]时，b≥5a+13恒成立，
∴实数b的取值范围是[23，+∞）
点评：本题考查的知识点是函数的恒成立问题，一元二次不等式的解法，函数的交集运算，其中熟练掌握二次函数的图象和性质并能用之解答一元二次不等式问题是解答的关键．