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(1)已知函数f(x)的周期为4,且等式f(2+x)=f(2-x)对一切x∈R恒成立,求证f(x)为偶函数;
(2)设奇函数f(x)的定义域为R,且f(x+4)=f(x),当x∈[4,6]时,f(x)=2x+1,求f(x)在区间[-2,0]上的表达式.
分析:(1)把关系式f(2+x)=f(2-x)变形,结合函数的周期,可得到f(-x)与f(-x)的关系,从而可确定原函数的奇偶性
(2)由f(x+4)=f(x),可得原函数的周期,再结合奇偶性,可把自变量的范围[-2,0]转化到[4,6]上,再结合奇偶性,可得所求解析式
解答:(1)证明:∵f(2+x)=f(2-x)
∴f(2+(x+2))=f(2-(x+2)),即f(x+4)=f(-x)
又∵函数f(x)的周期为4
∴f(x+4)=f(x)
∴f(-x)=f(x)
又∵x∈R,定义域关于原点对称
∴函数f(x)是偶函数
(2)解:当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2]
∴-x+4∈[4,6]
又∵当x∈[4,6]时,f(x)=2x+1
∴f(-x+4)=2-x+4+1
又∵f(x+4)=f(x)
∴函数f(x)的周期为T=4
∴f(-x+4)=f(-x)
又∵函数f(x)是R上的奇函数
∴f(-x)=-f(x)
∴-f(x)=2-x+4+1
∴当x∈[-2,0]时,f(x)=-2-x+4-1
点评:本题综合考查函数的周期性、奇偶性,以及函数解析式的求法.要注意函数性质的灵活转化.属简单题
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知函数f(x)=-x2+4(x∈(-1,2)),P、Q是f(x)图象上的任意两点.
①试求直线PQ的斜率kPQ的取值范围;
②求f(x)图象上任一点切线的斜率k的范围;
(2)由(1)你能得出什么结论?(只须写出结论,不必证明),试运用这个结论解答下面的问题:已知集合MD是满足下列性质函数f(x)的全体:若函数f(x)的定义域为D,对任意的x1,x2∈D,(x1≠x2)有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.
①当D=(0,1)时,f(x)=lnx是否属于MD,若属于MD,给予证明,否则说明理由;
②当D=(0,
3
3
)
,函数f(x)=x3+ax+b时,若f(x)∈MD,求实数a的取值范围.

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(1)已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).①求函数f(x)的定义域.②判断函数的奇偶性,并给予证明.
(2)已知函数f(x)=ax+3,(a>0且a≠1),求函数f(x)在[0,2]上的值域.

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(1)已知函数f(x)=
x+3(x≤0)
2x(x>0)
,则f(f(-2))为
2
2

(2)不等式f(x)>2的解集是
(-1,0]∪(1,+∞)
(-1,0]∪(1,+∞)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2006•浦东新区模拟)(1)已知函数f(x)=ax-x(a>1).
①若f(3)<0,试求a的取值范围;
②写出一组数a,x0(x0≠3,保留4位有效数字),使得f(x0)<0成立;
(2)若曲线y=x+
p
x
(p≠0)上存在两个不同点关于直线y=x对称,求实数p的取值范围;
(3)当0<a<1时,就函数y=ax与y=logax的图象的交点情况提出你的问题,并加以解决.(说明:①函数f(x)=xlnx有如下性质:在区间(0,
1
e
]
上单调递减,在区间[
1
e
,1)
上单调递增.解题过程中可以利用;②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分.)

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列四个命题:
(1)已知函数f(x)=
1
2
x2   x≤2
log2(x+a)  x>2
在定义域内是连续函数,数列{an}通项公式为an=
1
an
,则数列{an}的所有项之和为1.
(2)过点P(3,3)与曲线(x-2)2-
(y-1)2
4
=1有唯一公共点的直线有且只有两条.
(3)向量
a
=(x2,x+1)
b
=(1-x,t)
,若函数f(x)=
a
b
在区间[-1,1]上是增函数,则实数t的取值范围是(5,+∞);
(4)我们定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”,则集合{2,4,6,8,10}的“孙集”有26个.
其中正确的命题有
(1)(2)(4)
(1)(2)(4)
(填序号)

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