Question

（1）已知函数f（x）的周期为4，且等式f（2+x）=f（2-x）对一切x∈R恒成立，求证f（x）为偶函数；
（2）设奇函数f（x）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]时，f（x）=2^x+1，求f（x）在区间[-2，0]上的表达式．

Answer 1

分析：（1）把关系式f（2+x）=f（2-x）变形，结合函数的周期，可得到f（-x）与f（-x）的关系，从而可确定原函数的奇偶性
（2）由f（x+4）=f（x），可得原函数的周期，再结合奇偶性，可把自变量的范围[-2，0]转化到[4，6]上，再结合奇偶性，可得所求解析式

解答：（1）证明：∵f（2+x）=f（2-x）
∴f（2+（x+2））=f（2-（x+2）），即f（x+4）=f（-x）
又∵函数f（x）的周期为4
∴f（x+4）=f（x）
∴f（-x）=f（x）
又∵x∈R，定义域关于原点对称
∴函数f（x）是偶函数
（2）解：当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]
∴-x+4∈[4，6]
又∵当x∈[4，6]时，f（x）=2^x+1
∴f（-x+4）=2^-x+4+1
又∵f（x+4）=f（x）
∴函数f（x）的周期为T=4
∴f（-x+4）=f（-x）
又∵函数f（x）是R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=2^-x+4+1
∴当x∈[-2，0]时，f（x）=-2^-x+4-1

点评：本题综合考查函数的周期性、奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化．属简单题