Question

设函数f（x）=x²+（2a+1）x+a²+3a（a∈R）．
（I）若f（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的值；
（II）若f（x）在闭区间[α，β]上单调，且{y|y=f（x），α≤x≤β}=[α，β]，求α的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） 当-

2a+1

2

≤1，即：a≥-

3

2

时，f(x)max=f(2)=a2+7a+6=0．
故 a=-6（舍去），或a=-1；
当-

2a+1

2

＞1，即：a＜-

3

2

时，f(x)max=f(0)=a2+3a=0．
故a=0（舍去）或a=-3．
综上得：a的取值为：a=-1或a=-3． （5分）
（Ⅱ） 若f（x）在[α，β]上递增，则满足：（1）-

2a+1

2

≤α；（2）

f(α)=α f(β)=β

，
即方程f（x）=x在[-

2a+1

2

，+∞）上有两个不相等的实根．
方程可化为x²+2ax+a²+3a=0，设g（x）=x²+2ax+a²+3a，
则

- 2a+1 2 ＜-a △＞0 g(- 2a+1 2 )≥0

，解得：-

1

12

≤a＜0．     （5分）
若f（x）在[α，β]上递减，则满足：
（1）-

2a+1

2

≥β；（2）

f(α)=β f(β)=α

．
由

α2+(2a+1)α+a2+3a=β β2+(2a+1)β+a2+3a=α

得，两式相减得（α-β）（α+β）+（2a+1）（α-β）=β-α，即α+β+2a+1=-1．
即β=-α-2a-2．
∴α²+（2a+1）α+a²+3a=-α-2a-2，即α²+（2a+2）α+a²+5a+2=0．
同理：β²+（2a+2）β+a²+5a+2=0．
即方程x²+（2a+2）x+a²+5a+2=0在(-∞，-

2a+1

2

]上有两个不相等的实根．
设h（x）=x²+（2a+2）x+a²+5a+2，则

- 2a+1 2 ＞-a-1 △＞0 h(- 2a+1 2 )≥0

，解得：-

5

12

≤a＜-

1

3

．    （5分）
综上所述：a∈[-

5

12

，-

1

3

)∪[-

1

12

，0)．