Question

已知抛物线L的方程为x²＝2py(p>0)，直线y＝x截抛物线L所得弦长为.

(1)求p的值；

(2)若直角三角形ABC的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点B的横坐标为1，过点A、C分别作抛物线L的切线，两切线相交于点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在[3,4]上变化时，直线DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和此时直线BC的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)由解得M(0,0)，N(2p,2p)，

∴＝|MN|＝＝2p，∴p＝.

(2)由题意得B(1,1)，设A(x₁，)，C(x₂，)，k_AC＝＝x₁＋x₂，

设直线BC的斜率为k，则⇒x²－kx＋k－1＝0，且Δ＝k²－4k＋4≥0，

又1＋x₂＝k，得x₂＝k－1，故C(k－1，(k－1)²)，

由AB⊥BC得直线AB的斜率，进而得直线AB的方程，将AB的方程与抛物线方程联立，

同理可得A(－－1，(＋1)²)，

k_AC＝x₁＋x₂＝k－－2，

直线AC的方程为y－(k－1)²＝(k－－2)[x－(k－1)]，

令x＝0，y＝k－，所以E(0，k－)，

直线AD的方程：y－x₁²＝2x₁(x－x₁)⇒y＝2x₁x－x₁²，

同理CD：y＝2x₂x－x₂²，联立两方程得

D((k－－2)，－k)，

k_ED＝＝

＝4＝－4(1＋)，

令u＝k－，则u在[3,4]上递增，所以，当k＝4时，k_ED最大为－.

所以，直线BC的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.