Question

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（ 2）若一过点O（m，0）（m为非零常数）的直线与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设双曲线E的方程为，由B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．BD=3DC，得c+a=3（c-a），由此能求出双曲线E的方程．
（2）设在x轴上存在定点G（t，0），使．设直线l的方程为x-m=ky，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由，得y₁+λy₂=0．由此能推导出在x轴上存在定点，使．
解答：（本小题满分13分）
解：（1）设双曲线E的方程为，
则B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a．
∴…（3分）
解之得a=1，∴．
∴双曲线E的方程为．…（5分）
（2）设在x轴上存在定点G（t，0），使．
设直线l的方程为x-m=ky，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由，得y₁+λy₂=0．
即①…（6分）
∵，，
∴?x₁-t=λ（x₂-t）．
即ky₁+m-t=λ（ky₂+m-t）．②…（8分）
把①代入②，得2ky₁y₂+（m-t）（y₁+y₂）=0③…（10分）
把x-m=ky代入，并整理得（3k²-1）y²+6kmy+3（m²-1）=0，
其中3k²-1≠0且△＞0，即且3k²+m²＞1．
．…（11分）
代入③，得，
化简得 kmt=k．
当时，上式恒成立．
因此，在x轴上存在定点，使．…（13分）
点评：本题考查双曲线方程的求法，考查定点坐标是否存在的探索，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．