Question

已知：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，且
PA=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求二面角F-AE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）求四棱锥P-ABCD的体积，需要求出棱锥的高与底面的面积，由题设条件知，PA⊥平面ABCD，高为PA，已知，又底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，底面面积易求，由公式求体积即可；
（2）求二面角F-AE-C的大小可先作出二面角的平面角，再在其所在的三角形中求出二面角的大小，由题设条件及图形，根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角．

解答：解：（1）由题设条件知，棱锥的高为PA=2，
由底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，可解得底面四边形ABCD的面积是2×2×sin60°=2

3

故VP-ABCD=

4 3

3

（4分）
（2）取AC的中点O，连接FO，
∵F为PC中点，
∴FO∥PA且FO=

1

2

PA，又PA⊥平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD．（6分）
过O作OG⊥AE于G，则∠FGO就是二面角F-AE-C的平面角．（8分）
由作图及题意可得FO=1，GO=

1

2

，
得tan∠FGO=

FO

OG

=2，即二面角的大小为arctan2（14分）

点评：本题考查二面角的平面角及求法，解题的关键是作出二面角的平面角，然后在所作出的直角三角形中求出二面角平面角的值，解此类题时要注意步骤，作角，证角，求角三步不可少．