Question

已知函数g（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）-h（x）．
（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．
（2）是否存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过讨论a的范围，从而得出函数的单调性；（2）先假设存在实数a，满足题意，通过讨论x₁，x₂的大小，得不等式组，求出a无解，从而得出结论．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

x²+（a-2）x-2alnx（x＞0），
f′（x）=x+a-2-

2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

（x＞0），
①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．
②当-2＜a≤0时，f（x）在（0，-a）上是增函数；在（-a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数．
③当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．
④当a＜-2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，-a）上是减函数；在（-a，+∞）上是增函数．
（2）假设存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＜a恒成立，
当x₁＞x₂时，等价于 f（x₂）-f（x₁）＜a（x₁-x₂）即f（x₂）+ax₂＜f（x₁）+ax₁ 恒成立．
令g（x）=f（x）+ax=

1

2

x²-2alnx-2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）≥0恒成立即可．
又g′（x）=x-

2a

x

-2+2a=

x2+(2a-2)x-2a

x

，只要x²+（2a-2）x-2a≥0在（0，+∞）恒成立即可．
设h（x）=x²+（2a-2）x-2a，则由△=4（a-1）²+8a=4a²+4＞0及

h(0)=-2a＞0 - 2a-2 2 ≤0

得

a＜0 a≥1

，a∈∅，
当x₁＜x₂时，等价于 f（x₂）-f（x₁）＞a（x₁-x₂）即f（x₂）+ax₂＞f（x₁）+ax₁ 恒成立，
g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）＞0恒成立即可，a∈∅，
综上所述，不存在实数a，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂时，都有

f(x2)-f(x1)

x1-x2

＜a．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了求参数的范围问题，考查了导数的应用，是一道综合题．