Question

（1）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+1，（n≥2），证明数列{a_n+1}为等比数列，并数列{a_n}的通项公式．
（2）若数列{a_n}的前n项的和S_n=

3

2

a_n-3，求a_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）给等式a_n=2a_n-1+1两边都加上1，右边提取2后，变形得到数列{a_n+1}是等比数列，数列{a_n+1}的公比为2，根据首项为a₁+1等于2，写出数列{a_n+1}的通项公式，变形后即可得到{a_n}的通项公式．
（2）当n=1时，a₁=S₁=

3

2

a₁-3，即可解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得到a_n=3a_n-1．因此数列{a_n}是等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答： 解：（1）由a_n=2a_n-1+1得a_n+1=2（a_n-1+1），
又a_n+1≠0，
∴{a_n+1}为等比数列；
∵a₁=1，
∴a_n+1=（a₁+1）q^n-1，
即a_n=（a₁+1）q^n-1-1=2•2^n-1-1=2ⁿ-1．
（2）当n=1时，a₁=S₁=

3

2

a₁-3，解得a₁=6．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-3-（

3

2

a_n-1-3）=

3

2

a_n-

3

2

a_n-1，化为a_n=3a_n-1．
∴数列{a_n}是以6为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n=6•3^n-1．

点评：此题考查学生掌握等比数列的性质并会确定一个数列为等比数列，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．