Question

已知在正项数列{a_n}中，S_n表示前n项和且2

Sn

=a_n+1，求a_n．

Answer 1

分析：先根据题设条件求得a₁，进而根据a_n=S_n-S_n-1代入且2

Sn

=a_n+1，整理可求得即

Sn

-

Sn-1

=1进而判断由定义得{

Sn

}是以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列通项公式求得

Sn

=n．则a_n可得．

解答：解：由已知2

Sn

=a_n+1，得当n=1时，a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入已知有2

Sn

=S_n-S_n-1+1，
即S_n-1=（

Sn

-1）²．又a_n＞0，
故

Sn-1

=

Sn

-1或

Sn-1

=1-

Sn

（舍），
即

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2），
由定义得{

Sn

}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴

Sn

=n．
故a_n=2n-1．

点评：本题主要考查了用数列递推式求和通项公式的问题．解题的关键是找到数列中相邻两项或前n项和的相邻两项之间的关系．