Question

在平面直角坐标系xOy中，已知动点M（x，y）和N（-4，y）满足

OM

⊥

ON

．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点D（1，-1）的直线与轨迹交C于A、B两点，且D为线段AB的中点，求此直线的方程．

Answer 1

分析：（1）先将条件：“

OM

⊥

ON

“化简即得动点M的轨迹方程．
（2）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设条件A、B两点在抛物线上．由中点坐标公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y所以直线方程为y=-2x+1，由此可知此直线的方程．

解答：解：（1）因M（x，y），N（-4，y），
满足

OM

⊥

ON

，所以-4x+y²=0，
即：y²=4x，即为动点M的轨迹C的方程．
（2）由题意得AB与x轴垂直，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题设条件A、B两点在抛物线上．
y₁²=4x₁，y₂²=4x₂
两式相减得：y₁²-y₂²=4x₁-4x₂
由中点坐标公式得y₁+y₂=-2，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-2，
所以直线方程为y=-2x+1．

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一   求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．本题是利用的直接法．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．