Question

8．已知集合A={x|x²-16＜0}，B={x²-8x+12＜0}，I=A∩B．
（1）求集合I．
（2）若函数f（x）=x²-2ax+1大于0对x∈I恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A与B的交集即为I；
（2）根据函数f（x）=x²-2ax+1大于0对x∈I恒成立，得到f（2）与f（-4）都大于0，

解答 解：（1）由A中不等式变形得：（x+4）（x-4）＜0，
解得：-4＜x＜4，即A=（-4，4），
由B中不等式变形得：（x-2）（x-6）＜0，
解得：2＜x＜6，即B=（2，6），
则I=A∩B=（2，4）；
（2）∵函数f（x）=x²-2ax+1大于0对x∈I恒成立，
∴2a＜x+$\frac{1}{x}$，x+$\frac{1}{x}$在（2，4）递增，即有x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{5}{2}$．
即有2a≤$\frac{5}{2}$，解得a≤$\frac{5}{4}$．

点评 此题考查了交集及其运算，以及函数恒成立问题，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．