Question

1．已知两点A（-1，0），B（0，2），点C是圆（x-1）²+y²=1上任意一点，则△ABC面积的最小值是2-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 将圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径r，由A和B的坐标求出直线AB的解析式，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离d，用d-r求出△ABC中AB边上高的最小值，在等腰直角三角形AOB中，由OA=OB=2，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可求出△ABC面积的最小值．

解答 解：圆（x-1）²+y²=1的圆心坐标为（1，0），半径r=1，
∵A（-1，0），B（0，2），
∴直线AB解析式为y=2x+2，
∵圆心到直线AB的距离d=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∴△ABC中AB边上高的最小值为d-r=$\frac{4}{\sqrt{5}}$-1，
又AB=$\sqrt{5}$，
则△ABC面积的最小值为$\frac{1}{2}$×AB×（d-r）=2-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：2-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题考查了点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的两点式方程，其中求出△ABC中AB边上高的最小值是解本题的关键．