Question

已知函数f（x）=

kx2+x，x≤0 f(x-5)，x＞0

，
（1）若函数y=f（x）的图象经过点（-1，4），分别求k，f（14）的值；
（2）当k＜0时，用定义法证明：f（x）在（-∞，0）上为增函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意函数y=f（x）的图象经过点（-1，4），求出k的值，再根据f（14）=f（9）=f（4）=f（-1）得到f（14）的值，
（2）设x₁＜x₂＜0，然后通过作差判断f（x₁）和f（x₂）的大小关系即可．

解答： 解：（1）由已知得，当x≤0时，f（x）=kx²+x，
又函数y=f（x）的图象经过点（-1，4），
∴f（-1）=k（-1）²+（-1）=4，解得k=5，
∴f（14）=f（9）=f（4）=f（-1）=4
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＞x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=k（x₁²-x₂²）-（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（kx₁+kx₂+1），
∵x₁＞x₂，kx₁+kx₂+1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（-∞，0）上为增函数．

点评：考查增函数的定义，函数值得求法，以及利用定义证明函数单调性的过程．