Question

已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，
；当为奇数时，.
（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；
（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；
（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.

Answer 1

（1）是奇数，则，， 若是偶数，则，，
(2)根据数列的求和公式来证明不等式
(3)要证明对于当(N)时，都有.，则要对于其通项公式分情况来得到其通项公式的表达式证明。

试题分析：⑴设，，则：，
分两种情况： 是奇数，则，，
若是偶数，则，，
⑵当时，

∴
⑶∵，∴，∴
由定义可知：  ∴
∴
∴
∵，∴，
综上可知：当时，都有
点评：本试题主要是考查了等差数列和数列的求和，以及数列与不等式的证明，属于中档题。