Question

如图，已知点P在圆柱OO₁的底面圆O上，AB、A₁B₁分别为圆O、圆O₁的直径且A₁A⊥平面PAB．
（1）求证：BP⊥A₁P；
（2）若圆柱OO₁的体积V=12π，OA=2，∠AOP=120°，求三棱锥A₁-APB的体积．

Answer 1

分析：（1）根据AP⊥BP与AA₁⊥BP两个条件证明BP⊥平面PAA₁，即可证明BP⊥A₁P．
（2）根据题意求出S_△PAB然后求出棱柱的高，即可求出体积．

解答：证明：（1）证明：易知AP⊥BP，
由AA₁⊥平面PAB，
得AA₁⊥BP，
且AP∩AA₁=A，
所以BP⊥平面PAA₁，
故BP⊥A₁P．
解：（2）由题意V=π•OA²•AA₁=4π•AA₁=12π，
解得AA₁=3．
由OA=2，∠AOP=120°，得
∠BAP=30°，BP=2，AP=2

3

，
∴S_△PAB=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴三棱锥A₁-APB的体积：
V=

1

3

S_△PAB•AA₁=

1

3

×2

3

×3=2

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，通过对知识的综合考查，考查学生的综合运用能力．属于中档题．