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已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集为(m,m+1),其中m为非零常数.设数学公式
(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点,并求出极值点;
(3)若m=1,且x>0,求证:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

解:(1)∵关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集为(m,m+1),
即不等式x2+(a+1-2m)x+m2+m<0的解集为(m,m+1),
∴x2+(a+1-2m)x+m2+m=(x-m)(x-m-1).
∴x2+(a+1-2m)x+m2+m=x2-(2m+1)x+m(m+1).
∴a+1-2m=-(2m+1).
∴a=-2.…(2分)
(2)解法1:由(1)得=
∴φ(x)=g(x)-kln(x-1)=-kln(x-1)的定义域为(1,+∞).
∴φ'(x)=1-=.…(3分)
方程x2-(2+k)x+k-m+1=0(*)的判别式△=(2+k)2-4(k-m+1)=k2+4m.…(4分)
①当m>0时,△>0,方程(*)的两个实根为,…(5分)
则x∈(1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.
∴函数φ(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)有极小值点x2.…(6分)
②当m<0时,由△>0,得
,则
故x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0,(苏元高考吧:www.gaokao8.net)
∴函数φ(x)在(1,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)没有极值点.…(7分)
时,
则x∈(1,x1)时,φ'(x)>0;x∈(x1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.
∴函数φ(x)在(1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(8分)
综上所述,当m>0时,k取任意实数,函数φ(x)有极小值点x2
当m<0时,,函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(9分)
(其中
解法2:由(1)得=
∴φ(x)=g(x)-kln(x-1)=-kln(x-1)的定义域为(1,+∞).
∴φ'(x)=1-=.…(3分)
若函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点等价于函数φ'(x)有两个不等的零点,且
至少有一个零点在(1,+∞)上.…(4分)
令φ'(x)==0,
得x2-(2+k)x+k-m+1=0,(*)
则△=(2+k)2-4(k-m+1)=k2+4m>0,(**) …(5分)
方程(*)的两个实根为
设h(x)=x2-(2+k)x+k-m+1,
①若x1<1,x2>1,则h(1)=-m<0,得m>0,此时,k取任意实数,(**)成立.
则x∈(1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.
∴函数φ(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)有极小值点x2.…(6分)
②若x1>1,x2>1,则
又由(**)解得
.…(7分)
则x∈(1,x1)时,φ'(x)>0;x∈(x1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.
∴函数φ(x)在(1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(8分)
综上所述,当m>0时,k取任何实数,函数φ(x)有极小值点x2
当m<0时,,函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(9分)
(其中
(3)证法1:∵m=1,∴g(x)=
=
=.…(10分)
令T=
则T==
∵x>0,
∴2T=…(11分)≥…(12分)
===2(2n-2).…(13分)
∴T≥2n-2,即[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2.…(14分)
证法2:下面用数学归纳法证明不等式≥2n-2.
①当n=1时,左边=,右边=21-2=0,不等式成立;
…(10分)
②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即≥2k-2,
==…(11分)=2k+1-2.…(13分)
也就是说,当n=k+1时,不等式也成立.
由①②可得,对?n∈N*,[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2都成立.…(14分)
分析:(1)根据关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集为(m,m+1),即不等式x2+(a+1-2m)x+m2+m<0的解集为(m,m+1),从而有x2+(a+1-2m)x+m2+m=(x-m)(x-m-1).化简后对照系数即可得出a的值;
(2)由(1)得=.利用导数研究其单调性,从而得出极值的情形;
(3)当m=1时g(x)=.利用二项定理化简式子[g(x+1)]n-g(xn+1),再利用组合数的性质或数学归纳法进行证明即得对?n∈N*,[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2都成立.
点评:本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识.
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