【题目】已知定义在R上的函数f(x),对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,当x>0时,f(x)>1;且f(2)=3,
(1)求f(0)及f(1)的值;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并给予证明;
(3)若f(﹣kx2)+f(kx﹣2)<2对任意的x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:令a=b=0,由题意可知:f(0)=f(0)+f(0)﹣1,即f(0)=1,
同理,令a=b=1,则有f(2)=f(1)+f(1)﹣1,又f(2)=3,所以f(1)=2
(2)解:在R上任取x1、x2,设x1>x2,
则f(x1)=f(x1﹣x2)+f(x2)﹣1,所以f(x1)﹣f(x2)=f(x1﹣x2)﹣1,
又当x>0时,f(x)>1且x1﹣x2>0,所以f(x1﹣x2)>1,
所以f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
故函数f(x)在R上为单调递增
(3)解:因为f(﹣kx2)+f(kx﹣2)<2对任意的x∈R恒成立,
由题意可转化为kx2﹣kx+2>0对任意的x∈R恒成立,
①当k=0时,得2>0,符合题意;
②当k≠0时,则 ,解得0<k<8
故符合题意的实数k的取值范围为0≤k<8
【解析】(1)令a=b=0,由题意即可求解f(0),令a=b=1,即可求解f(1).(2)利用单调性的定义在R上任取x1、x2 , 设x1>x2 , 推出f(x1)>f(x2),得到函数f(x)在R上为单调递增;(3)通过f(﹣kx2)+f(kx﹣2)<2对任意的x∈R恒成立,转化为kx2﹣kx+2>0对任意的x∈R恒成立,①当k=0时,②当k≠0时,分别求解即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为,过的左焦点的直线,直线被圆:截得的弦长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设的右焦点为,在圆上是否存在点,满足,若存在,指出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为 (为参数),以直角坐标系原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点为曲线上的动点,求点到直线距离的最大值及其对应的点的直角坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,焦点为,抛物线上一点的横坐标为,且.
(Ⅰ)求此抛物线的方程;
(Ⅱ)过点做直线交抛物线于两点,求证:.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆过点,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的上顶点作直线交抛物线于两点, 为原点.
①求证: ;
②设、分别与椭圆相交于、两点,过原点作直线的垂线,垂足为,证明: 为定值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】轮船从某港口将一些物品送到正航行的轮船上,在轮船出发时,轮船位于港口北偏西且与相距20海里的处,并正以30海里的航速沿正东方向匀速行驶,假设轮船沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶,经过小时与轮船相遇.
(1)若使相遇时轮船航距最短,则轮船的航行速度大小应为多少?
(2)假设轮船的最高航速只能达到30海里/小时,则轮船以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船相遇,并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某大理石工厂初期花费98万元购买磨大理石刀具,第一年需要各种费用12万元,从第二年起,每年所需费用比上一年增加4万元,该大理石加工厂每年总收入50万元.
(1)到第几年末总利润最大,最大值是多少?
(2)到第几年末年平均利润最大,最大值是多少?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在[﹣1,1]上的奇函数f(x),已知当x∈[﹣1,0]时的解析式f(x)= ﹣ (a∈R).
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市政府为了节约生活用电,计划在本市试行居民生活用电定额管理,即确定一个居民月用电量标准,用电量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为此,政府调查了100户居民的月平均用电量(单位:度),以, , , , , , 分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)如果当地政府希望使左右的居民每月的用电量不超出标准,根据样本估计总体的思想,你认为月用电量标准应该定为多少合理?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com