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【题目】已知定义在R上的函数f(x),对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,当x>0时,f(x)>1;且f(2)=3,
(1)求f(0)及f(1)的值;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并给予证明;
(3)若f(﹣kx2)+f(kx﹣2)<2对任意的x∈R恒成立,求实数k的取值范围.

【答案】
(1)解:令a=b=0,由题意可知:f(0)=f(0)+f(0)﹣1,即f(0)=1,

同理,令a=b=1,则有f(2)=f(1)+f(1)﹣1,又f(2)=3,所以f(1)=2


(2)解:在R上任取x1、x2,设x1>x2

则f(x1)=f(x1﹣x2)+f(x2)﹣1,所以f(x1)﹣f(x2)=f(x1﹣x2)﹣1,

又当x>0时,f(x)>1且x1﹣x2>0,所以f(x1﹣x2)>1,

所以f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2

故函数f(x)在R上为单调递增


(3)解:因为f(﹣kx2)+f(kx﹣2)<2对任意的x∈R恒成立,

由题意可转化为kx2﹣kx+2>0对任意的x∈R恒成立,

①当k=0时,得2>0,符合题意;

②当k≠0时,则 ,解得0<k<8

故符合题意的实数k的取值范围为0≤k<8


【解析】(1)令a=b=0,由题意即可求解f(0),令a=b=1,即可求解f(1).(2)利用单调性的定义在R上任取x1、x2 , 设x1>x2 , 推出f(x1)>f(x2),得到函数f(x)在R上为单调递增;(3)通过f(﹣kx2)+f(kx﹣2)<2对任意的x∈R恒成立,转化为kx2﹣kx+2>0对任意的x∈R恒成立,①当k=0时,②当k≠0时,分别求解即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较.

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