Question

设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）求导数f′（x）； 并证明f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂．

Answer 1

分析：f（x）=x′（x-1）（x-a）+x（x-1）′（x-a）+x（x-1）（x-a）′证明f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂．需证明f′（x）=0有两个不同实根x₁，x₂，且根的两边f′（x）符号相反．

解答：解：f′（x）=（x-1）（x-a）+x（x-a）+x（x-1）=3x²-2（a+1）x+a，
∵△=4（a+1）²-12a=4a²-4a+4=4(a-

1

2

)2+3＞0，
∴f′（x）=0必有两个不同实根x₁，x₂，（不妨设x₁＜x₂）
又∵f′（x）=的图象开口向上，
∴-∞＜x＜x₁，或x₂＜x＜+∞时，f′（x）＞0，
x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，
∴f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂

点评：本题主要考查导数与极值的关系，若f（a）=0：a的左侧f'（x）＞0，a的右侧f'（x）＜0则a是极大值点；a的左侧f'（x）＜0，a的右侧f'（x）＞0则a是极小值点．属于基础知识，基本运算的考查．求导时，可用对各个因式分式分别求导，也可把式子展开后再求导．