Question

1．已知函数f（x）=（x²-ax-a）e^x．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若a∈（0，2），对于任意x₁，x₂∈[-4，0]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜（6e^-2+2）•m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于|f（x₁）-f（x₂）|_max＜（6e^-2+2）•m恒成立，求出|f（x₁）-f（x₂）|_max，问题转化为对于任意的a∈（0，2），（6e^-2+2）•m＞（4+a）e^-2+a恒成立，即故m＞$\frac{（4+a{）e}^{-2}+a}{{6e}^{-2}+2}$=$\frac{a{（e}^{2}+1）+4}{2{（e}^{2}+3）}$在a∈（0，2）恒成立，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=（x²-x-1）e^x，
∴f′（x）=（x²+x-2）e^x，
当f′（x）=（x²+x-2）e^x＞0时，解得x＞1或x＜-2，函数单调递增，
当f′（x）=（x²+x-2）e^x＜0时，解得-2＜x＜1，函数单调递减，
∴f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上为增函数，在（-2，1）上为减函数；
（2）a∈（0，2），对于任意x₁，x₂∈[-4，0]，
都有|f（x₁）-f（x₂）|＜（6e^-2+2）•m恒成立，
等价于|f（x₁）-f（x₂）|_max＜（6e^-2+2）•m恒成立，
∵f′（x）=[x²+（2-a）x-2a]e^x，
令g（x）=x²+（2-a）x-2a，
△=（2-a）²+8a=（a+2）²≥0，
a=-2时，g（x）=x²+4x+4≥0，
即f′（x）≥0，f（x）在R递增，
a≠-2时，对于g（x），
△＞0，g（x）有2个不相等的实根，
令g（x）=0，解得：x=-2或x=a，
a＞-2时，令g′（x）＞0，解得：x＞a或x＜-2，令g（x）＜0，解得：-2＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，a）递减，在（a，+∞）递增，
∴f（x）在（-4，-2）递增，在（-2，0）上递减，
∵f（-2）=（4+a）e^-2，f（0）=-a，f（-4）=（16+3a）e^-4，
∴|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（-2）-f（0）=（4+a）e^-2+a，
则问题转化为对于任意的a∈（0，2），（6e^-2+2）•m＞（4+a）e^-2+a恒成立，
故m＞$\frac{（4+a{）e}^{-2}+a}{{6e}^{-2}+2}$=$\frac{a{（e}^{2}+1）+4}{2{（e}^{2}+3）}$在a∈（0，2）恒成立，
而$\frac{a{（e}^{2}+1）+4}{2{（e}^{2}+3）}$＜$\frac{2{（e}^{2}+1）+4}{2{（e}^{2}+3）}$=1，
故m≥1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的由以及转化思想，是一道中档题．