Question

如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2
（1）求证：E、F、G、H四点共面．
（2）设EG与HF交于点P，求证：P、A、C三点共线．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线平行于第三边；平行线分线段成比例定理，得到EF、GH都平行于BD，利用平行线的传递性得到EF∥GH
据两平行线确定以平面得证．
（2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，得证．

解答：证明：（1）∵，E、F分别是AB、AD的中点
∴EF∥BD
∵BG：GC=DH：HC=1：2
∴GH∥BD
∴EF∥GH
E、F、G、H四点共面．
（2）∵EG与HF交于点P∴P在面ABC内，
同理P在面DAC
又∵面ABC∩面DAC=AC
∴P在直线AC上
∴P、A、C三点共线．

点评：本题考查三角形的中位线性质、平行线分线段成比例定理、直线的平行性的传递性、确定平面的条件、证三点共线常用的方法．