Question

（2013•海淀区二模）已知函数f（x）=e^x，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞2时，若?t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据题意得到函数S（t）的解析式，再由导数与函数单调性的关系解不等式即可求函数S（t）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞2时，若?t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，转化为S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e．先求S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et，令S'（t）=0，得t=a-1．下面对字母a进行分类讨论：a-1≥2；a-1＜2．可得出关于a的不等关系，从而可求出a的范围；

解答：解：（I） 因为S(t)=

1

2

|t-a|et，其中t≠a…（2分）
当a=0，S(t)=

1

2

|t|et，其中t≠0
当t＞0时，S(t)=

1

2

tet，S′(t)=

1

2

(t+1)et，
所以S'（t）＞0，所以S（t）在（0，+∞）上递增，…（4分）
当t＜0时，S(t)=-

1

2

tet，S′(t)=-

1

2

(t+1)et，
令S′(t)=-

1

2

(t+1)et＞0，解得t＜-1，所以S（t）在（-∞，-1）上递增
令S′(t)=-

1

2

(t+1)et＜0，解得t＞-1，所以S（t）在（-1，0）上递减 …（7分）
综上，S（t）的单调递增区间为（0，+∞），（-∞，-1），S（t）的单调递增区间为（-1，0）
（II）因为S(t)=

1

2

|t-a|et，其中t≠a
当a＞2，t∈[0，2]时，S(t)=

1

2

(a-t)et
因为?t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，所以S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e，
S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et，令S'（t）=0，得t=a-1…（8分）
当a-1≥2时，即a≥3时S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＞0对t∈（0，2）成立，S（t）单调递增，
所以当t=2时，S（t）取得最大值S(2)=

1

2

(a-2)e2
令

1

2

(a-2)e2≥e，解得   a≥

2

e

+2，
所以a≥3…（10分）
当a-1＜2时，即a＜3时S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＞0对t∈（0，a-1）成立，S（t）单调递增，S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＜0对t∈（a-1，2）成立，S（t）单调递减，
所以当t=a-1时，S（t）取得最大值S(a-1)=

1

2

ea-1，
令S(a-1)=

1

2

ea-1≥e，解得a≥ln2+2，
所以ln2+2≤a＜3…（12分）
综上所述，ln2+2≤a…（13分）

点评：本题考查了应用导数研究函数的单调性，以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想．