Question

某生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为160％，以后每年的增长率是前一年的一半．设原来的产量是a．

(Ⅰ)写出改进设备后的第一年，第二年，第三年的产量，并写出第n年与第n－1年(n≥2，n∈N)的产量之间的关系式；

(Ⅱ)由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的5％，如此下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是；请说明从第几年起，产量将比上一年减少？

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)设第n年的产量为an，则　　a1＝a(1＋160％)， 　　a2＝a(1＋160％)(1＋80％)，　　a3＝a(1＋160％)(1＋80％)(1＋40％)， 　　…… 　　即a1＝a，a＝a，a3＝a． 　　∴an＝an－1(1＋×160％)＝an－1(1＋×)(n≥2，n∈N)． 　　(Ⅱ)依题意，an＝an－1(1＋×)(1－5％)． 　　若以后每年的产量逐年减少，即an＜an－1，也即(1＋×)(1－5％)＜1． 　　∴1＋×＜，即2n－4＞．　　但22＞，21＜，且n≥2，n∈N， 　　∴当n－4≥2，即n≥6时，an＜an－1 　　故从第6年起，产量比上一年减少．