Question

15．已知正三棱台（上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心）的上、下底面边长分别是2cm与4cm，侧棱长是$\sqrt{6}$cm，试求该三棱台的表面积与体积．

Answer 1

分析 利用勾股定理，求出三棱台的斜高、高，代入正棱台的表面积与体积，即可得到表面积与体积．

解答 解：∵正三棱台的两个底面的边长分别是2cm与4cm，侧棱长是$\sqrt{6}$cm，
∴其斜高为$\sqrt{6-1}$=$\sqrt{5}$cm；高为$\sqrt{5-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{42}}{3}$
∴正三棱台的表面积为3×$\frac{1}{2}×（2+4）×\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4+16）=9$\sqrt{5}$+5$\sqrt{3}$．
体积V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{42}}{3}×（\frac{\sqrt{3}}{4}×4+\frac{\sqrt{3}}{4}×16+\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\frac{\sqrt{3}}{4}×16}$=$\frac{7\sqrt{14}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是棱台的结构特征，棱台的表面积与体积，其中求出棱台的斜高、高是解答本题的关键，