Question

【题目】如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．

（1）求证：BF⊥平面ACFD；
（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：

∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；

∴AC⊥平面BCK，BF平面BCK；

∴BF⊥AC；

又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；

∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；

∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；

∴BF⊥平面ACFD

（2）

∵BF⊥平面ACFD；

∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；

∵F为CK中点，且DF∥AC；

∴DF为△ACK的中位线，且AC=3；

∴ ；

又 ；

∴在Rt△BFD中， ，cos ；

即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为 ．

【解析】（1）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC．而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；
（2）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出BF= ，DF= ，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值．
考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．