Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点（2，$\sqrt{2}$）在C上．
（1）求C的标准方程；
（2）设直线l过点P（0，1），当l绕点P旋转的过程中，与椭圆C有两个交点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率，求出abc的关系，设出椭圆方程，利用点在椭圆上，求解可得椭圆的标准方程．
（2）利用直线的斜率是否存在设出直线方程，联立直线与椭圆方程求出斜率，然后求出线段AB的中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）因为椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以a：b：c=$\sqrt{2}：1：1$…（2分）
不妨设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=λ$，代入点$（2，\sqrt{2}）$，得到λ=4…．（5分）
所以椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$…（6分）
（2）设线段AB的中点M（x₀，y₀），
若直线l斜率不存在，即为x=0，易得线段AB中点为（0，0）…（7分）
若直线l斜率存在，设直线方程为y=kx+1，两交点坐标A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
易得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{8}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1\\ \frac{{{x_2}^2}}{8}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1\end{array}\right.$减得$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=k=-\frac{4{x}_{0}}{8{y}_{0}}$…（8分）
又因为$k=\frac{{{y_0}-1}}{x_0}$…（9分）
化简得${x_0}^2+2{y_0}^2-2{y_0}=0$，（0，0）代入满足方程
所以线段AB的中点M的轨迹方程为x²+2y²-2y=0…（10分）

点评 本题考查椭圆的方程与直线方程的综合应用，考查轨迹方程的求法，平方差法的应用，转化思想以及计算能力．