Question

【题目】如图，已知斜三棱柱， ， ， 在底面上的射影恰为的中点，且.

（1）求证： 平面；

（2）求到平面的距离；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】试题分析：（1）由题意得A1D⊥平面ABC，根据面面垂直判定定理得平面A1ACC1⊥平面ABC，由BC⊥AC，根据面面垂直性质定理得BC⊥平面A1ACC1，即得BC⊥AC1，又已知，所以由线面垂直判定定理得平面；（2）利用向量求线面距离，首先求平面法向量，再根据向量投影求距离：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面法向量；再根据向量投影求距离（3）利用向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面法向量；再根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系求二面角的平面角的余弦值.

试题解析：解：（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，

∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1，

∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B，

∴AC1⊥平面A1BC。

（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，

∵AC1⊥平面A1BC，

∴AC1⊥A1C，

∴四边形A1ACC1是菱形，

∵D是AC的中点，

∴∠A1AD=60°，

∴A（2，0，0），A1（1，0，），B（0，2，0）， C1（-1，0，），

∴=（1，0，），=（-2，2，0），

设平面A1AB的法向量=（x，y，z），

∴，

令z=1，

∴=（，，1），

∵=（2，0，0），

∴，

∴C1到平面A1AB的距离是

（3）平面A1AB的法向量=（，，1），平面A1BC的法向量=（-3，0，），

∴，

设二面角A-A1B-C的平面角为θ，θ为锐角，

∴，

∴二面角A-A1B-C的余弦值为