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设f(x)=lg(
2
1-x
+a
)是奇函数
(1)求a的值;
(2)证明f(x)在定义域上是单调函数;
(3)若f(t2-1)+f(2t-1)>0,求实数t的取值范围.
考点:函数奇偶性的性质,奇偶性与单调性的综合
专题:函数的性质及应用,导数的综合应用
分析:(1)通过求函数f(x)的定义域,并且根据奇函数的定义域关于原点对称即可求得a的值为-1;
(2)求f′(x)=
2
(1-x)(1+x)ln10
>0
,从而便可判断出f(x)在其定义域(-1,1)上是增函数;
(3)由f(x)为奇函数可得到f(t2-1)>f(1-2t),而根据f(x)在定义域(-1,1)上的单调性即可得到
-1<t2-1<1
-1<1-2t<1
t2-1>1-2t
,解该不等式组即得实数t的取值范围.
解答: 解:(1)解
2
1-x
+a>0

若a>0,则
x<1
x<
a+2
a
,或
x>1
x>
a+2
a

若a<0,则
x<1
x>
a+2
a
,或
x>1
x<
a+2
a

∵f(x)为奇函数,∴定义域关于原点对称;
a+2
a
=-1
,a=-1;
∴f(x)=lg
1+x
1-x

(2)证明:f′(x)=
2
(1-x)(1+x)ln10
>0;
∴f(x)在定义域(-1,1)上是单调函数;
(3)根据f(x)是奇函数,由原不等式得,f(t2-1)>f(1-2t);
∴根据f(x)在(-1,1)上单调递增得:
-1<t2-1<1
-1<1-2t<1
t2-1>1-2t

∴解得-1+
3
<t<
2

∴实数t的取值范围为(-1+
3
2
)
点评:考查奇函数定义域的特点,根据函数导数符号判断或证明函数单调性的方法,奇函数定义的运用,单调性定义的运用.
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