Question

3．已知实数a，b满足2a²-5lna-b=0，c∈R，则$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分别设y=f（x）=2x²-5lnx（x＞0），y=-x，则$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$表示曲线上y=f（x）的点到直线y=-x的距离，则$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值表示为和直线y=-x平行的曲线的切线的之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线间的距离公式即可求出答案．

解答 解：分别设y=f（x）=2x²-5lnx（x＞0），y=-x，
则$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$表示曲线上y=f（x）的点到直线y=-x的距离，
则$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值表示为和直线y=-x平行的曲线的切线的之间的距离，
∵f′（x）=2x²-5lnx，
∴f′（x）=4x-$\frac{5}{x}$，
∴f′（a）=4a-$\frac{5}{a}$=-1，解得a=1，
∴f（1）=2=b，
∴曲线过点（1，2）的切线方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0，
∴直线x+y-3=0与直线y+x=0的距离d=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{（a-c）^{2}+（b+c）^{2}}$的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了导数的几何意义和平行线之间的距离公式，关键是构造曲线和直线，属于中档题．