Question

已知函数f(x)=

x2+a

bx-c

  (b， c∈N*)，并且f（0）=0，f（2）=2，f(-2)＜-

1

2

．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）是否存在各项均不为零的数列{a_n}，满足4Snf(

1

an

)=1（S_n为数列{a_n}的前n项和）．若有，写出数列的一个通项公式a_n，并说明满足条件的数列{a_n}是否唯一确定；若无，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，得出关于a，b，c的不等式组，并注意b，c均为正整数，求解即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=

x2

2x-2

．设存在各项均不为零的数列{a_n}，满足4Snf(

1

an

)=1．则4S_n=2a_n-2a_n²，即2S_n=a_n-a_n^2，_再根据Sn与an的固有关系，得出（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0后，问题容易获解．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由f（0）=0，得a=0．
由f（2）=2，f(-2)＜-

1

2

，得

2b-c=2 - 4 2b+c ＜- 1 2

 (b， c∈N*)，即

2b-c=2 2b+c＜8

 (b， c∈N*)．…（3分）
解得 b=c=2．
因此，a=0，b=c=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=

x2

2x-2

．当x≠0且a_n≠1时，

1

f(x)

=

2

x

-

2

x2

，

1

f( 1 x )

=2x-2x2．
设存在各项均不为零的数列{a_n}，满足4Snf(

1

an

)=1．则4S_n=2a_n-2a_n²，即2S_n=a_n-a_n²（a_n≠0且a_n≠1）．…（6分）
首先，当n=1时，a₁=S₁=-1；…（7分）
由 2S_n+1=a_n+1-a_n+1²，2S_n=a_n-a_n²，得2a_n+1=2S_n+1-2S_n=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0．…（9分）
若 a_n+1+a_n=0，则由a₁=-1，得a₂=1，这与a_n≠1矛盾．…（10分）
若 a_n+1-a_n+1=0，则 a_n+1-a_n=-1．
因此，{a_n}是首项这-1，公差为-1的等差数列．
通项公式为 a_n=-n．
综上可得，存在数列{a_n}，a_n=-n符合题中条件．…（11分）
由上面的解答过程可知，数列{a_n}只要满足条件（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0即可．
因此，可以数列一部分满足a_n+1-a_n=-1，另一部分满足a_n+1+a_n=0，且保证a_n≠0且a_n≠1．
例如：数列-1，-2，2，-2，2，-2，2，…；
数列-1，-2，2，-2，-3，3，-3，-4，4，-4，…
因此，满足条件的数列不唯一．…（14分）

点评：本题是函数与不等式、数列的综合，考查不等式求解，函数值计算、数列的性质．考查计算、转化、推理论证能力．