Question

设{a_n}是公比q＞1的等比数列，若a₂₀₀₅和a₂₀₀₆是方程4x²-8x+3=0的两个根，则a₂₀₀₇+a₂₀₀₈=

 

．

Answer 1

分析：先利用一元二次方程的根与系数的关系得到以a₂₀₀₅+a₂₀₀₆=-

-8

4

=2和a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=

3

4

；再把所得结论用a₂₀₀₅和q表示出来，求出q；最后把所求问题也用a₂₀₀₅和q表示出来即可的出结论．

解答：解：设等比数列的公比为q．
因为a₂₀₀₅和a₂₀₀₆是方程4x²-8x+3=0的两个根
所以a₂₀₀₅+a₂₀₀₆=-

-8

4

=2，a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=

3

4

．
∴a₂₀₀₅（1+q）=2    ①
a₂₀₀₅•a₂₀₀₅•q=

3

4

    ②
∴

①2

②

=

(1+q)2

q

=

22

3 4

=

16

3

，
又因为q＞1，所以解得q=3．
∴a₂₀₀₇+a₂₀₀₈=a₂₀₀₅•q²+a₂₀₀₅•q³
=a₂₀₀₅•（1+q）•q²=2×3²=18．
故答案为：18．

点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系以及等比数列的性质．在解决本题的过程中用到了整体代入的思想，当然本题也可以求出首项和公比再代入计算．