Question

【题目】已知函数（，且、）.设关于的不等式的解集为，且方程的两实根为、.

（1）若，完成下列问题：

①求、的关系式；

②若、都是负整数，求的解析式；

（2）若，求证: .

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）见解析.

【解析】

（1）①要求、的关系式，可根据方程的两实根为、．结合韦达定理（根与系数的关系），用、表示、．又则，给出、的关系，但在分析过程中，要注意方程有两个不相等的根时，方程的判别式大于零；

②由可得出，由题意可得出，由此得出，且，可解出的取值范围，进而可求出负整数、的值，从而可得出函数的解析式；

（2）由，根据零点的存在定理可以得到，代入可以构造一个关于、的不等式组，画出它们表示的平面区域，利用线性规划不难得到结论．

（1）①由，得，由已知得，

由韦达定理得，，

则，化简得，

所以，、的关系式为；

②，得，

因为、均为负整数，则，且、，

由可得，解得.

，，当时，（舍）；当时，，合乎题意.

综上所述，；

（2）令，

又，，则，

又因为方程的两根为、，则，，

，

作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

由图象可知，，所以，，

因此，.