Question

平面内点P与两定点A₁（-a，0），A₂（A，0）（其中a＞0）连线的斜率之积非零常数m，已知点P轨迹C的离心率是．
（1）求m的值；
（2）求椭圆C的右焦点且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点．若O为坐标原点，M为椭圆C上一点，满足，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意，设动点P的坐标为（x，y），当x≠±a时，由题设条件得mx²-y²=ma（x≠±a），由A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²，知椭圆C的方程为（x≠±a）．由此能求出m的值．
（2）由椭圆C的方程为，知椭圆C的右焦点为，过F₂斜率为1的直线方程为．联立，解得，或．由此能求出λ的值．
解答：解：（1）由题意，设动点P的坐标为（x，y），
当x≠±a时，由题设条件得=-m，
即mx²-y²=ma（x≠±a），
∵A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²，
∴椭圆C的方程为（x≠±a）．
设椭圆C的半焦距为c（c＞0），
当焦点在x轴上时，有=a，
∴．解得m=-．
当焦点在y轴上时，有，
∴，解得．
（2）由（1）得，椭圆C的方程为，c=，
∴椭圆C的右焦点为，过F₂斜率为1的直线方程为．
联立，解得，或．
设M点的坐标为（x，y），
①若点A的坐标为（0，-），点B的坐标为（），
∴，
∵M为椭圆上一点，∴=a²，
解得λ=0或．
②若点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
∵M为椭圆C上一点，
∴，
解得λ=0或，
综上所述，λ的值为0或．
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．