Question

【题目】如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC.

(1)求证：平面AEF⊥平面PBC.

(2)求二面角P-BC-A的大小.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由线面垂直的定义，根据PA⊥平面ABC得PA⊥BC，结合AB⊥BC得BC⊥平面PAB，从而得出AE⊥BC，结合AE⊥PB证出AE⊥平面PBC，最后根据面面垂直判定定理，即可证出平面AEF⊥平面PBC；

（2）由（1）的结论得BC⊥AB且BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P﹣BC﹣A的平面角，Rt△PAB中算出∠PBA=45°，即可得到二面角P﹣BC﹣A的大小。

试题解析：

(1)因为PA⊥平面ABC，又BC平面ABC，所以PA⊥BC，

又AB⊥BC，AB与PA相交于点A，

所以BC⊥平面PAB，又AE平面PAB，所以BC⊥AE，又AE⊥PB，而PB与BC相交于点B，所以AE⊥平面PBC，又AE平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC.

(2)由(1)知，BC⊥平面PAB，PB平面PAB，

所以PB⊥BC，又AB⊥BC，

所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，

在Rt△PAB中，因为PA=AB，所以∠PBA=45°，

即二面角P-BC-A的大小为45°.