Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求sin（2A+ ）﹣2cos2B的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由acosB=bcosA，结合正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，

即sinAcosB﹣cosAsinB=0，得sin（A﹣B）=0，

∵A，B∈（0，π），

∴A﹣B∈（﹣π，π），则A﹣B=0，

∴A=B，即△ABC为等腰三角形

（2）解：sin（2A+ ）﹣2cos2B=sin2Acos +cos2Asin ﹣2cos2B

= ﹣（1+cos2B）= ﹣cos2A﹣1

= = ．

∵0 ，∴ ，

则 ∈（﹣ ]．

即sin（2A+ ）﹣2cos2B的取值范围是：（﹣ ]

【解析】（1）由已知等式结合正弦定理化边为角，再由两角差的余弦求得sin（A﹣B）=0，可得A=B，则△ABC为等腰三角形；（2）把sin（2A+ ）﹣2cos2B利用两角和的正弦及降幂公式化简，得到关于A的三角函数，再由A的范围求得答案．