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已知函数数学公式(a为常数)
(1)若f(x)在区间[-1,2]上单调递减,求a的取值范围;
(2)若f(x)与直线y=-9相切:
(ⅰ)求a的值;
(ⅱ)设f(x)在x1,x2(x1<x2)处取得极值,记点M (x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(m,f(m)),x1<m<x2,若对任意的m∈(t,x2),线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点,试确定t的最小值,并证明你的结论.

解:(1)f(x)在区间[-1,2]上单调递减,则f′(x)≤0在x∈[-1,2]上恒成立,
即x2-2x+a≤0在x∈[-1,2]上恒成立,由a≤-x2+2x得,a≤(-x2+2x)min
而y=-x2+2x是开口向下的抛物线对称轴为直线x=1,故在x=-1处取到最小值-3,
故a的取值范围为:a≤-3
(2)(i)f(x)与直线y=-9相切,故x2-2x+a=0①,且
由①得a=-x2+2x代入②得,化简得2x3-3x2-27=0,
即x3-3x2+x3-27=0,故x2(x-3)+(x-3)(x2+3x+9)=0,
则(x-3)(2x2+3x+9)=0,而2x2+3x+9恒大于0,只有x-3=0,
故x=3代入a=-x2+2x,得a=-3
(ii)由(i)得f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调递减区间为(-1,3),
所以函数在x=-1,x=3处取得极值,故M(-1,)N(3,-9)
所以直线MP的方程为
得x3-3x2-(m2-4m+4)x-m2-4m=0
线段MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有实根,
即函数g(x)=x3-3x2-(m2-4m+4)x-m2-4m在(-1,m)上有零点.
又因为函数g(x)为三次函数,所以g(x)至多有三个零点,两个极值点,
又因为g(-1)=g(m)=0,
因此,g(x)在(-1,m)上有零点等价于g(x)在(-1,m)上恰有一个极大值点和一个极小值点,
即g′(x)=3x2-6x-(m2-4m+4)=0在(-1,m)内有两不相等的实根,
等价于
解得2<m<5又-1<m≤3,所以m 的取值范围为(2,3)
故满足题设条件的t的最小值为2.
分析:(1)f(x)在区间[-1,2]上单调递减可得f′(x)=x2-2x+a≤0在x∈[-1,2]上恒成立,分离常数啊a,只需求出(-x2+2x)在给定区间的最小值即可;(2)
(i)f(x)与直线y=-9相切,故x2-2x+a=0①,且②联立解得x值,进而求a的值,(ii)线段MP与曲线f(x)有异于M,P的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有实根等价于g′(x)=3x2-6x-(m2-4m+4)=0在(-1,m)内有两不相等的实根,解关于m的不等式可得.
点评:本题为函数导数的综合应用,分离常数把问题转化为求函数的最值问题是解决问题的关键,属中档题.
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