Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O，求m的值．

Answer 1

分析：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将直线与圆方程消去y得：

5

4

x²+

5

2

x+m-

27

4

=0，从而将x₁+x₂和x₁x₂表示成关于m的式子，根据以PQ为直径的圆过坐标原点O，得

OP

•

OQ

=0，结合向量数量积的坐标运算，解关于m的方程即可得到实数m的值．

解答：解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由x²+y²+x-6y+m=0和x+2y-3=0联解，消去y得：

5

4

x²+

5

2

x+m-

27

4

=0，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=

4m

5

-

27

5

∵以PQ为直径的圆经过坐标原点O，
∴OP⊥OQ，可得

OP

•

OQ

=0
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

1

4

（3-x₁）（3-x₂）=

5

4

x₁x₂-

3

4

（x₁+x₂）+

9

4

=0，
结合前面根与系数关系表达式，代入得：

5

4

（

4m

5

-

27

5

）+

3

2

+

9

4

=0，解之得m=3．

点评：本题给出直线与圆相交于点P、Q，并且以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O，求参数的值．着重考查了直线方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．