Question

（本小题满分14分）

一种计算装置，有一数据入口点A和一个运算出口点B ，按照某种运算程序：

①当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为；

②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍；

试问：当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想的关系式，并证明你的结论。

 

Answer 1

【答案】

，证明见解析。

【解析】

由已知得 

当时，，

同理可得   ---------------------4分

 猜想 -------------------6分

下面用数学归纳法证明成立

①当时，由上面的计算结果知成立    ------8分

②假设时，成立，即 ，

那么当时，

即         

当时，也成立       ---------------13分

综合①②所述，对 ，成立。 -----14分