Question

某学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性抽取3道题，规定至少正确完成其中2道题便可通过，已知6道备选题中考生甲有4道能正确完成，2道不能完成；考生乙正确完成每道题的概率都是

2

3

，且每题正确完成与否互不影响．
（1）求甲正确完成的题数ξ的分布列及期望；求乙正确完成的题数η的分布列及期望；
（2）请用统计知识分析比较两名考生这门学科的水平．

Answer 1

分析：（1）随机变量ξ的所有可能值为1，2，3，且P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（2）变量η的所有可能值为0，1，2，3，且P（η=k）=

C

k 3

(

2

3

)k•(

1

3

)3-k，D（ξ）=（2-1）²×

1

5

+（2-2） 2×

3

5

+(2-3)2×

1

5

=

2

5

，D（η）=(2-0)2×

1

27

+(2-1)2×

6

27

+(2-2)2×

12

27

+(2-3)2×

8

27

=

2

3

，所以，从统计的角度可以判断考生甲这门学科的水平更好．

解答：解：（1）随机变量ξ的所有可能值为1，2，3，
且P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
所以ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

所以E（ξ）=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．
随机变量η的所有可能值为0，1，2，3，且P（η=k）=

C

k 3

(

2

3

)k•(

1

3

)3-k，k=0，1，2，3，
所以P（η=0）=

C

0 3

(

2

3

)0(

1

3

)3=

1

27

，
P（η=1）=

C

1 3

(

2

3

)1(

1

3

)2=

6

27

，
P（η=2）=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)1=

12

27

，
P（η=3）=

C

3 3

(

2

3

)3(

1

3

)0=

8

27

，
∴η的分布列为

η	0	1	2	3
P	1 27	6 27	12 27	8 27

所以E（η）=0×

1

27

+1×

6

27

+2×

12

27

+3×

8

27

=2．
（2）由于随机变量ξ，η的期望相同，所以考虑随机变量ξ，η的方差，
D（ξ）=（2-1）²×

1

5

+（2-2） 2×

3

5

+(2-3)2×

1

5

=

2

5

，
D（η）=(2-0)2×

1

27

+(2-1)2×

6

27

+(2-2)2×

12

27

+(2-3)2×

8

27

=

2

3

，
∴D（ξ）＜D（η），所以，从统计的角度可以判断考生甲这门学科的水平更好．

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．