Question

19．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求证：D₁C∥平面A₁BD．
（2）求异面直线A₁D与D₁C所成的角．

Answer 1

分析 （1）先根据A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC，得到A₁D₁CB为平行四边形⇒A₁B∥CD₁，即可得到结论；
（2）利用线面、面面平行的判定定理得到∠BA₁D是异面直线A₁D与D₁C所成的角．

解答 （1）证明：因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
所以A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC；B₁C₁∥BC，B₁C₁=BC
所以A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，
所以四边形A₁BCD₁是平行四边形．
则A₁B∥CD₁．
又A₁B?平面ABD₁，CD₁?面ABD₁，
所以D₁C∥平面A₁BD．
（2）解：因为A₁D₁=BC且A₁D₁∥BC，
所以A₁BCD₁是平行四边形，
则D₁C∥A₁B，
所以∠BA₁D是异面直线A₁D与D₁C所成的角，
因为A₁D=D₁C=BD，所以∠BA₁D=60°．

点评 本题主要考查线面所成的角，线面平行以及面面垂直．是对立体几何知识的综合考查，属于综合题目．