Question

已知各项为正数的数列{a_n}满足a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=

1

3

（4n³-n），（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）记数列{na_n}的前n项和为T_n，试用数学归纳法证明对任意n∈N^*，都有T_n≤nS_n．

Answer 1

分析：（I）因为n≥2时，（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n-1²）=a_n²，从而求出a_n，再根据等差数列的性质可知求出数列的首项与公差，根据首项与公差写出前n项和的公式即可；
（II）先根据当n=1时，把n=1代入求值不等式成立；再假设n=k时关系成立，利用变形可得n=k+1时关系也成立，综合得到对于任意n∈N^*时都成立．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，有a₁²=

1

3

（4×1²-1）=1，又a_n＞0，所以 a₁=1（1分）
当n≥2时，（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n-1²）=a_n²
=

1

3

（4n³-n）-

1

3

[4（n-1）³-（n-1）]=

4

3

[n³-（n-1）³]-

1

3

=

4

3

（n²+n²-n+n²-2n+1）-

1

3

=4n²-4n+1=（2n-1）²
所以a_n=2n-1，且当n=1时，a₁=2×1-1=1  （3分）
又a_n-a _n-1=（2n-1）-[2（n-1）-1]=2，
因此数列{a_n}是以1为首项且公差为2的等差数列，
所以：S_n=n+

1

2

n×n（n-1）×2=n²，（2分）
证明：（Ⅱ）（1）当n=1时，T₁=1×1=1，
1×S1=1×1=1，关系成立 （1分）
（2）假设当n=k时，关系成立，即T_k≤kS_k，则
1×1+2×a₂+1+…+ka_k≤k³（1分） 
 那么T _k+1=1×1+2×a₂+…+ka_k+（k+1）a _k+1≤k³+（k+1）（2k+1）
=k³+2k²+3k+1＜k³+3k²+3k+1=（k+1）³，即当n=k+1时关系也成立（3分）  
根据（1）和（2）知，关系式T_n≤nS_n对任意n∈N^*都成立  （1分）

点评：此题是一道综合题，要求学生掌握等差数列的性质，会求等差数列的通项公式及前n项的和公式，同时要求学生掌握数学归纳法在证明题中的运用．