Question

【题目】已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1﹣x），其中a＞0且a≠1，设h（x）=f（x）﹣g（x）
（1）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性并说明理由
（2）解不等式h（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1﹣x），其中a＞0且a≠1，

∴h（x）=f（x）﹣g（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）

解 得，﹣1＜x＜1

∴h（x）的定义域为（﹣1，1）；

∵h（﹣x）=loga（1﹣x）﹣loga（1+x）=﹣h（x）

∴h（x）为奇函数；

（2）解：由h（x）＞0得，loga（1+x）＞loga（1﹣x）；

①若a＞1，则：

解得：0＜x＜1

②若0＜a＜1，则：

解得：∴﹣1＜x＜0

∴a＞1时，使h（x）＞0的x的取值范围为（0，1），0＜a＜1时，x的取值范围为（﹣1，0）．

【解析】（1）由已知可得h（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x），进而可求函数的定义域，判断函数的奇偶性；（2）由h（x）＞0得，loga（1+x）＞loga（1﹣x）；对底数进行分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．
【考点精析】本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点的相关知识点，需要掌握过定点（1，0），即x=1时，y=0;a>1时在（0，+∞）上是增函数;0>a>1时在（0，+∞）上是减函数才能正确解答此题．