Question

定义一种运算^*，满足n^*k=n•λ^k-1（n、k∈N⁺，λ是非零实常数）．
（1）对任意给定的k，设an=n*k(n=1，2，3，…)，求证：数列{a_n}是等差数列，并求k=2时，该数列的前10项和；
（2）对任意给定的n，设bk=n*k(k=1，2，3，…)，求证：数列{b_k}是等比数列，并求出此时该数列的前10项和；
（3）设cn=n*n(n=1，2，3，…)，试求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）利用新定义，结合等差数列的定义可知结论成立，利用等差数列的求和公式，可求数列的前10项和；
（2）利用新定义，结合等比数列的定义可知结论成立，利用等比数列的求和公式，可求数列的前10项和；
（3）确定数列的通项，再利用错位相减法可求得结论．

解答：（1）证明：an=n*k=n•λk-1，an+1=(n+1)•λk-1，an+1-an=λk-1（k为任意给定的），
所以数列{a_n}是等差数列．
k=2时，公差为a_n+1-a_n=λ，首项为λ，前10项和S10=10λ+

10×9

2

λ=55λ．
（2）证明：bk=n•λk-1，bk+1=n•λk，

bk+1

bk

=λ，所以数列{b_n}是等比数列．
当λ=1时，S₁₀=10n；当λ≠1时，首项为n，S10=

n(1-λ10)

1-λ

．
（3）解：cn=n•λn-1，当λ=1时，c_n=n，Sn=

n(n+1)

2

；
当λ≠1时，S_n=λ⁰+2λ+…+n•λ^n-1
∴λS_n=λ+2λ²+…+（n-1）•λ^n-1+n•λⁿ
两式相减可得（1-λ）S_n=1+λ+λ²+…+λ^n-1-n•λⁿ=

1-λn

1-λ

-n•λⁿ，
∴S_n=

1-λn

(1-λ)2

-

nλn

1-λ

．

点评：本题考查新定义，考查等差数列与等比数列的判定，考查数列的求和，正确理解新定义是关键．