Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面.四边形为正方形，且为的中点，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【证明】：(1)因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.

又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，

所以CD⊥平面SAD.

(2)取SC的中点R，连接QR，DR.

由题意知，PD∥BC且PD＝BC.

在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，所以QR∥BC且QR＝BC.

所以QR∥PD且QR＝PD，则四边形PDRQ为平行四边形，所以PQ∥DR.

又PQ平面SCD，DR平面SCD，

所以PQ∥平面SCD.

【解析】：

分析：（Ⅰ）证明CD⊥AD，然后证明CD⊥平面SAD．
（Ⅱ）取SC的中点R，连QR，DR．推出PD=BC，QR∥BC且QR=BC．然后证明四边形PDRQ为平行四边形，即可证明PQ∥平面SCD．

详解：

(1)因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.

又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，

所以CD⊥平面SAD.

(2)取SC的中点R，连接QR，DR.

由题意知，PD∥BC且PD＝BC.

在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，所以QR∥BC且QR＝BC.

所以QR∥PD且QR＝PD，则四边形PDRQ为平行四边形，所以PQ∥DR.

又PQ平面SCD，DR平面SCD，

所以PQ∥平面SCD.