Question

9．已知如图几何体A₁C₁E₁-ABCDEF底面是边长为2的正六边形，AA₁，CC₁，EE₁长度为2且都垂直与底面．
（1）求A₁C与平面FCE₁成角的正弦值；
（2）在线段A₁C₁上是否存在点M，使得平面ABM∥平面FCE₁，若存在，求出M点所在位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，在平面ABCDEF中过A作AD的垂线为x轴，以AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁C与平面FCE₁成角的正弦值．
（2）假设线段A₁C₁上存在点M（a，b，2），$\overrightarrow{{A}_{1}M}=λ\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，使得平面ABM∥平面FCE₁，利用向量法推导出假设不成立，即线段A₁C₁上不存在点M，使得平面ABM∥平面FCE₁．

解答 解：（1）∵几何体A₁C₁E₁-ABCDEF底面是边长为2的正六边形，AA₁，CC₁，EE₁长度为2且都垂直与底面，
∴以A为原点，在平面ABCDEF中过A作AD的垂线为x轴，以AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（0，0，2），C（$\sqrt{3}$，3，0），F（-$\sqrt{3}$，1，0），E₁（-$\sqrt{3}，3，2$），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（$\sqrt{3}，3，-2$），$\overrightarrow{FC}$=（2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{F{E}_{1}}$=（0，2，2），
设平面FCE₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=2\sqrt{3}x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{F{E}_{1}}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
设A₁C与平面FCE₁成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4\sqrt{3}|}{\sqrt{16}•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴A₁C与平面FCE₁成角的正弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
（2）假设线段A₁C₁上存在点M（a，b，2），$\overrightarrow{{A}_{1}M}=λ\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，使得平面ABM∥平面FCE₁，
则A（0，0，0），B（$\sqrt{3}，1，0$），C₁（$\sqrt{3}$，3，2），（a，b，0）=（$\sqrt{3}λ，3λ$，0），∴M（$\sqrt{3}λ，3λ$，0），
$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{AM}$=（$\sqrt{3}λ，3λ$，0），
设平面ABM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=\sqrt{3}λ{x}_{1}+3λ{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{m}$≠（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
∴假设不成立，
∴线段A₁C₁上不存在点M，使得平面ABM∥平面FCE₁．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查线段上是否存在使面面平行的点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．