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8.已知椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1(a1>b1>0)与双曲线C2:$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,O为坐标原点,P是两曲线的公共点,且∠F1PF2=60°,则$\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{3{{e}_{1}}^{2}+{{e}_{2}}^{2}}}$的值为(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.1

分析 先画出图形,根据条件及椭圆、双曲线的定义可以求出|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,|F1F2|=2c1=2c2,可设|F1F2|=2c,而∠F1PF2=60°,在△PF1F2,由余弦定理便可得出${{a}_{1}}^{2}+3{{a}_{2}}^{2}=4{c}^{2}$,进一步便得到$\frac{{c}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+3{{a}_{2}}^{2}}=\frac{1}{4}$,从而便可求出$\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{3{{e}_{1}}^{2}+{{e}_{2}}^{2}}}=\frac{1}{2}$.

解答 解:如图,
根据椭圆和双曲线的定义:
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2
且|F1F2|=2c1=2c2,设|F1F2|=2c;
在△PF1F2中,∠F1PF2=60°;
∴由余弦定理:$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|•cos60°=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$;
∴$2({{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2})-({{a}_{1}}^{2}-{{a}_{2}}^{2})=4{c}^{2}$;
即${{a}_{1}}^{2}+3{{a}_{2}}^{2}=4{c}^{2}$;
∴$\frac{{c}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}+3{{a}_{2}}^{2}}=\frac{1}{4}$;
∴$\frac{1}{\sqrt{\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{3{{a}_{2}}^{2}}{{c}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}}}=\frac{{e}_{1}{e}_{2}}{\sqrt{3{{e}_{1}}^{2}+{{e}_{2}}^{2}}}=\frac{1}{2}$.
故选A.

点评 考查椭圆和双曲线的定义,椭圆和双曲线的焦点和焦距,以及余弦定理,椭圆和双曲线的离心率的计算公式.

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