Question

（2011•花都区模拟）如图，平面内有三个向量

OA

，

OB

，

OC

，其中

OA

与

OB

的夹角为60°，

OA

与

OC

、

OB

与

OC

的夹角都为30°，且|

OA

|=|

OB

|=1，|

OC

|=2

3

，若

OC

=λ

OA

+μ

OB

，则λ+μ的值为（　　）

• A．4
• B．3

  3

• C．2

  3

• D．2

Answer 1

分析：过C分别作CN∥OM，交射线OB于N，作CM∥ON，交射线OA于M，先将

OC

写成

OM

+

ON

，再利用向量共线定理求出λ，μ．得出结果．

解答：解：过C分别作CN∥OM，交射线OB于N，作CM∥ON，交射线OA于M，
则

OC

=

OM

+

ON

=λ

OA

+μ

OB

．
∴

OM

=λ

OA

 

ON

=μ

OB

．
由已知，|

OA

|=|

OB

|=1，
平行四边形OMCN中，∠MOC=∠NOC=∠NCO=30°，
∴△NOC为等腰三角形．
∴ON=NC=OM①
∴平行四边形OMCN为菱形．
连接MN交OC于H，则OC⊥MN，且H为OC中点．
在RT△OHM中，cos∠HOM=

OH

OM

=

1 2 OC

OM

即cos30°=

3

OM

=

3

2

，解得OM=2，
由①，ON=OM=2．
∴λ=

| OM|

| OA|

=2，同理求得μ=2，λ+μ=4
故选A．

点评：本题考查空间向量基本定理，向量共线定理的应用．考查转化、计算、解三角形的能力．